数学の応用問題はたった１つのことを意識して勉強すればいい
みなさんこんにちは。東ふく郎です。
みなさんは、こんな経験をお持ちではないでしょうか？
- 数学分からない…
- 数学なんて嫌いだ…
- 応用問題なんて解ける気がしない…
実は筆者である僕も、最初はこんな風に悩んでいました。
なんとか頑張れば教科書にある問題くらいは解けるけど、定期テストの最後の方に出題される応用問題とか模試や入試の問題となるとほとんど正解なんてできませんでした。
でも、実は数学の応用問題はたった１つの「あること」を意識すればどんな問題でも解けるようになるのです！
僕はそれに気づいてからは定期テストや模試の問題はもちろん、あの東大の数学まで解けるようになりました。
数学の応用問題なんて、どんなものでも実は「ある１つの能力」しか求めてこないのです。
では、さっきからしつこいほど言っている「ある１つのこと」とは何か。
今回はそれを徹底的に解説してきます！
分かりやすいようにSTEP分けしたので上から順々に読んでくれると理解が早くなると思います。
それでは、どうぞ！
STEP1：数学の応用問題が求めてくる能力は何かを知ろう！
まず、敵を倒す（＝数学の応用問題を解く）ためには敵を知る（＝何を求めてくるのかを知る）必要があります。
そしてこれが、さっきから言っている「あるたった１つのこと」に繋がってきます。
では、一体「数学の応用問題が求めてくるあるたった１つの能力」とは何なのか。
それは
公式や解法がいつ使えるか理解しているか？
ということだけなのです。
これだけだと分かりにくいと思うので、具体的に例を挙げます。
今回は分かりやすいように、よくある小学校の算数を取り上げようと思います。
小学校の算数？と思った方もいると思いますが、実は小学数学の問題集に書いてある応用問題にとてつもなく大事なヒントが隠されているのです！
さて、ちょっと昔の記憶を思い出してください。
中学生の方は3年くらい前、高校生の方は6年くらい前のことですかね。
小学生の問題集でよくこんなのを見ないでしょうか？
こんな感じのですね。
１で計算問題をやって、２で応用問題を解く、という構成ですね。
ここに何のヒントがあるのでしょうか？
実はこれ
- 基本問題：掛け算の「計算方法」を理解しているか、ということを聞いている（□１番）
- 応用問題：掛け算の「使い方」「いつ使えるか」を理解しているか、ということを聞いている（□２番）
という構成をとっているのです。
つまり、この小学数学の応用問題（＝文章題）からでもわかるように、数学の応用問題というのは
習ったことをいつ使えるのか、使いどころを理解しているか？
ということを聞いているに過ぎないのです。
どんなに掛け算の九九ができようと、その掛け算がどのような時に使えるか理解していなかったら意味ないですからね。
今回の問題でも、例えば「５＋７＝１２」なんてしてしまっては不正解な訳なのです。
そしてこれが、中学や高校の数学にも完全に当てはまります。
ただどうしても中学高校の数学は難しいため、今回でいう掛け算、つまりは計算方法をマスターしただけで安心してしまっている学生が多いが事実です。
ですが、真に数学の応用問題が求めている能力は「計算方法」ではなく「いつどんな時にその計算方法が使えるのか」ということなのです。
では次は「応用問題はいつどんな時に習った数学の方法が使えるのかというのを聞いてくる」というのを踏まえたうえで、「なぜ多くの人が応用問題を解けないのか」を考えていくステップに移っていきましょう！
STEP2：数学の応用問題が解けない原因を知ろう！
「応用問題はいつどんな時に習った数学の方法が使えるのかというのを聞いてくる」というのは十分理解していただいたと思います。
では、なぜたった１つ「いつ使えるか」ということを意識すればいいだけなのに、多くの学生が数学の応用問題を解けないのでしょうか？
え、そんなの多くの学生が数学の方法を
いつ使えるかを意識できていないからじゃん
と思ったあなた、大正解ですが実は真の原因はもう少し深いところにあるのです。
それはつまり、
なぜ多くの学生が数学の方法をいつ使えるかを
意識できていないという状態になってしまうのか
ということです。
別に「いつ使えるか」ということを意識するのはそこまで難しいことではありません。
ただ単に「縦×横」は「長方形の面積を求める時に使う」とかの意識を持てばいいだけなのですから。
それにも関わらず、なぜ多くの学生はできていないのでしょうか？
そのヒミツがみなさんが普段使っている参考書や問題集にあるのです。
たいていの参考書や問題集は、「問題」と「解答解説」の２つで構成されています。
参考書だったらもしかしたら簡単な講義や授業、説明が丁寧にあるかもしれません。
しかし、そんな丁寧な説明もだいたいは「いつ使えるか」ではなく「なぜそうなるのか」にとどまっていると思います。
例えば、
三角形の面積の求め方が「底辺×高さ÷２」になる理由の証明や説明
は丁寧にあっても
底辺×高さ÷２は三角形の面積を求める時に使うんだよ
という説明が書いてある参考書や問題集はなかなかありません。
まあさすがに「三角形の面積＝底辺×高さ÷２」は誰でも使い所がわかるものですが、これが難しい高校数学や中学数学になったらどうでしょう？
中学生なら
- 三平方の定理がいつ使えるか
- 二次方程式がいつ使えるか
- グラフはどういう時に使えるか
高校生なら
- sin, cos, tanはいつ使えるか
- 正弦定理や余弦定理
- logはいつ使えるのか
- 微分積分はいつ使えるのか
これらを明確に答えられる学生はなかなかいないでしょう。
そして、「いつ使えるか」なんてことが書かれている問題集や参考書もなかなかないのです。
解説では「〇〇の定理より」とか「〇〇の公式を使って」とか、あたかもその定理や公式・解法を使うのが当たり前のように書かれています。
つまり学生のみなさんは
「いつ使えるか」を説明している教材がないから
「いつ使えるか」というのを意識できる機会がなかなかない
という状態に陥ってしまっているのです。
そして当然、
「いつ使えるか」というのを意識できる機会がない
↓
応用問題が解けない
となるので、
いつ使えるかというのを意識できる機会がないことが
多くの学生が数学の応用問題を解けない真の理由
なのです。
STEP3：数学の応用問題が面白いほど解けるようになる勉強法はこれだ！
機会やきっかけがないからといって仕方ないと諦めるのは一生数学の応用問題が解けないままで終わります。
じゃあどうすればいいのか？
単純です。
参考書が書いてくれないなら自分で作ってしまえばいいのです。
おい待ってくれ、自分で作るなんて難しいだろ…？と思った方、実はこれがコツさえつかめば難しくないのです。
しかもなんとみなさんは既に一番大事な
「習ったことをいつ使えるのか」の理解がキーポイント
ということを知っています。
これを応用して、自分が問題を解いた時に「これっていつ使えるのかな…？」と考えるだけでいいのです。
ちょっと例を出してみましょう。
次の問題を解いてみてください。
あ、２番は中学3年で習う内容なのでまだ習っていない方は解けなくても大丈夫ですよ！
よく問題集にある問題だと思います。
しかし、ここで解いて正解しただけで終わっていては応用問題が解けないことはみなさんもうお分かりかと思います。
だって、「いつ使えるか」をまだ意識できていない状態なのですから。
そこで、「いつ使えるか」を自分で作るために大事なキーワードを教えます。
それは
〇〇な状態になったら△△できる
というのを作るというです。
作り方は簡単です。
〇〇には「問題の状態そのもの」を入れます。
この場合だったら、「方程式を立てたら」や「xだけの等式を作ったら」などですね。
△△には「問題を解いたら何ができる（求まる）か」を入れます。
この場合だったら、「方程式が解ける」や「xの値が求まる」などですね。
つまりこの例でいうと、問題を解いた時に必ず
xだけの等式を作ったらxの値が求まる
ということを意識すればいいだけなのです。
え、それだけかよ、と思ったかもしれませんが案外この「それだけ」のことを多くの人ができていなかったりします。
例えば簡単な例ですが、今までこれらのことを意識してちゃんと勉強してきたでしょうか？
- 底辺と高さが求まったら三角形の面積が求まる
- グラフの直線y=ax+bは、２点がわかれば式が求まる（中２：１次関数）
- 直角三角形の２辺がわかればもう１辺もわかる（中３：三平方の定理）
- ２次関数y=ax^2で１点がわかれば式が求まる（中３：二次関数）
多分あんまりできていないことに気づけると思います。
まあこれは正直、簡単な例なのでもしかしたらわかっていた方もいるかもしれません。
ですが、実際みなさんの手元にある問題集や参考書で全て問題について「〇〇な状態になったら△△できる」ということが言えるでしょうか？
さすがになかなか言える人はいないと思います。
これはつまり、使いどころがわかっていないということなので、応用問題が解けないという危険な状態になっているのです。
なので、応用問題をスラスラ解けるようになりたいと思うみなさんは、この「いつ使えるのか」＝「〇〇な状態になったら△△できる」ということを強く意識して数学を勉強していってください！
完璧にした後には、面白いほど数学の応用問題が解けるようになっていることは保証します！
【学年＆レベル別】数学のオススメ参考書
ここからはちょっと本編から外れますが、
- 勉強したいけど参考書や問題集を持っていない
- 参考書や問題集を持っているけどもっといいものがほしい
という方向けに、オススメの参考書を学年＆レベル別で紹介します。
【中学生】とにかく基礎を固めたい方へ
この参考書は本当に「これでもか！」というくらいに丁寧に解説がされています。
一回既に勉強したことがある人には「しつこいよ！」と思うくらいの説明がされているのでおすすめしませんが、一番最初で何も知らない状態から勉強する時にはもってこいの参考書です。
僕も中学生の時は予習＆基礎固めでこれを使っていました！
【中学生】３年間の基礎を総復習したい方へ
有名なくもんが出版している参考書ですね。
これで中学数学の総復習はバッチリです！
【中学生】応用問題を解きたい方へ
中学自由自在問題集 数学: 基礎から難関校突破まで自由自在の実力をつけるスーパー問題集
これも結構有名な参考書でしょう。
自由自在シリーズは他の教科も出ていて人気が高い参考書です。
この自由自在数学で基礎問題を復習しつつ、応用問題を解けばもうバッチリでしょう！
【高校受験】実際の入試レベルの問題を解きたい方へ
全分野収録版
分野別（数と式・関数・資料の活用）
2019-2020年受験用 全国高校入試問題正解 分野別過去問 数学 数と式・関数・資料の活用
分野別（図形）
この「全国高校入試問題正解」は全国のとにかくたくさんの入試問題が載っています。
実際に高校入試として出題された入試問題しか収録されていないので問題演習にはバッチリでしょう。
分野別でも発売されているので例えば「図形だけやりたい！」という方にはそちらの方がおすすめです。
【高校生】とにかく基礎を固めたい方へ
この参考書は、なんと会話形式で書かれています。
実際にゆっくりと授業を自分のペースで受けられるため、基礎を固めるのにはもってこいの参考書です。
高校の数学難しくてよくわからない…という人のはぜひ読んでいただきたい参考書です！
この説明のわかりやすさと丁寧さはどの参考書よりも上だと自信を持って言えます。
【高校生】３年間の基礎を総復習したい方へ
有名な参考書ですね。
結構量があるため初学者にはあまり向いていない参考書ですが、基礎固めとしては最強の参考書と言えます。
このチャート以外から出る入試問題は一切ないというほどです。
センター試験はもちろん、東大入試だってこのチャート以外からは出題されたことは１度もないのです。
それくらい高校３年間の全ての基礎が載っているので総復習に最適といえますね。
【高校生】応用問題を解きたい方へ
「標準問題」といっていますがレベルは十分応用問題レベルがあります。
入試問題まで難しくない応用問題が集まっているので、応用問題の最初の問題集として使うといいでしょう。
【大学受験】実際の入試レベルの問題を解きたい方へ
この「プラチカ」という参考書は、とにかく入試問題の中での良問を集めたものとなっています。
問題数自体は少なく、本当に質の高い問題ばかりが解けるので、入試問題レベルと解きたい人にぴったりです。
まとめ：数学の応用問題なんて意識を少し変えればできるようになる
いかがだったでしょうか？
とにかく数学の応用問題というのは「いつ使えるのか」というのを意識するのが大事です。
逆に、入試ではこのことしか聞かれないのでその意識さえ持てば満点だって狙えるのです。
ぜひ明日から意識をちょっとだけ変えて、応用問題をばんばん解けるようになってください！
最後まで読んでいただきありがとうございました！
ではまた次回の記事でお会いしましょう！
